முப்பரிமாணத்தில் கோளத்தின் உட்பகுதியின் கனஅளவு:
இங்கு r என்பது கோளத்தின் ஆரம் மற்றும் 
, மாறிலி. இந்த வாய்ப்பாடுமுதன்முதலில் ஆர்க்கிமிடீசால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஆர்க்கிமிடீஸ்ஒரு கோளத்தின் கனஅளவானது, அதைச் சுற்றி வரையப்பட்டஉருளையின் கனஅளவில் 2/3 பங்கு இருக்கும் என்பதைக் கண்டறிந்தார். (தொடர்ந்து இக்கருத்து கேவலியரியின் கொள்கையில் (Cavalieri's principle) வலியுறுத்தப்பட்டுள்ளது.) இப்பொழுது நவீன கணிதத்தில், இந்த வாய்ப்பாட்டைத் தொகையிடல் மூலமாகக் கணமுடியும்.
, மாறிலி. இந்த வாய்ப்பாடுமுதன்முதலில் ஆர்க்கிமிடீசால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஆர்க்கிமிடீஸ்ஒரு கோளத்தின் கனஅளவானது, அதைச் சுற்றி வரையப்பட்டஉருளையின் கனஅளவில் 2/3 பங்கு இருக்கும் என்பதைக் கண்டறிந்தார். (தொடர்ந்து இக்கருத்து கேவலியரியின் கொள்கையில் (Cavalieri's principle) வலியுறுத்தப்பட்டுள்ளது.) இப்பொழுது நவீன கணிதத்தில், இந்த வாய்ப்பாட்டைத் தொகையிடல் மூலமாகக் கணமுடியும்.
(எ-கா) முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான வட்டத்தகடுகளின் கனஅளவுகளின் கூடுதலை வட்டுத் தொகையிடுவதன் மூலம் கோளத்தின் கனஅளவைக் காண முடியும். இத்தகடுகள் நுண்ணிய தடிமன் உடையவைகளாகவும் மையங்கள் x -அச்சில் x = 0 (அதாவது தகட்டின் ஆரம் r -ஆக இருக்குமிடம்)-லிருந்து, x = r (தகட்டின் ஆரம் 0 -ஆக இருக்குமிடம்) வரை இருக்கும்படியாக வரிசையாக அடுத்தடுத்து மிகவும் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்டிருக்கும்.
தரப்பட்ட ஒரு x -ன் மதிப்பிற்கு, கூடும்கனஅளவு (incremental volume) (δV)-ஆனது x -ல் அமையும் வட்டத்தகட்டின் குறுக்கு வெட்டுமுகத்தின் பரப்பு மற்றும் அத்தகட்டின் தடிமன் (δx) இரண்டின்பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாகும்:
கோளத்தின் மொத்த கனஅளவு இத்தகைய எல்லாத் தகடுகளின் கூடும்கனஅளவுகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்:
δx -ன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை நிலையில் [1] இதன் மதிப்பு பின்வரும் தொகையீடாக மாறும்:
x,-ன் எந்தவொரு மதிப்பிற்கும் x, y மற்றும் r ஆதிப்புள்ளியில் அமையும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைஅமைக்கும். எனவே பித்தகோரசு தேற்றத்தின்படி:
எனவே y -ஐ x -ன் சார்பாகப் பிரதியிட:
![\!V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) = \frac{4}{3}\pi r^3.](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vn5M0YqpoOtT_CYVf6ucW5v-iFun4py0Qa73Yj9tR9Ywhsoh_wUr_6LOtttFngHQrtvyMmlV0Z8mY-deVZ0XEhNQFxZhnuJoxP7iJW7AmpaM0I_Txh_m9hZ8yfHmgniW1m4gDUfbWiMd9_8yFA=s0-d)
கோளத்தின் கன அளவு:
இதே வாய்ப்பாட்டை வேறுமுறையில் கோள ஆயதொலைவுகளைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.
உயர் பரிமாணங்களில் கோளம்(அல்லது மீக்கோளம்) என்பது வழக்கமாகn-கோளம் அல்லது n-உருண்டைஎன அழைக்கப்படுகிறது.
பெரும்பாலான நடைமுறைப் பயன்பாடுகளுக்கு கோளத்தின் கனஅளவை, அது வரையப்பட்டுள்ளகனசதுரத்தின் கன அளவில் 52.4% என தோராயமாகக் கணக்கிடலாம்.
ஏனெனில் 
மேலும் ஒரு கனசதுரத்துக்குள் வரையக்கூடிய மிகப்பெரிய கோளத்தின் விட்டம் கனசதுரத்தின் பக்கநீளத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.
மேலும் ஒரு கனசதுரத்துக்குள் வரையக்கூடிய மிகப்பெரிய கோளத்தின் விட்டம் கனசதுரத்தின் பக்கநீளத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.
கோளத்தின் விட்டம் = கனசதுரத்தின் பக்கம் = 
கனசதுரத்தின் கனஅளவு = 
கோளத்தின் கனஅளவு:
எடுத்துக்காட்டாக, 1 m பக்கஅளவுள்ள கனசதுரத்தின் கன அளவு 1 m3 . எனவே அந்த கனசதுரத்துக்குள் வரையப்படும் மிகப்பெரிய கோளத்தின் விட்டம் 1 m ஆகும். இக்கோளத்தின் கன அளவு கிட்டத்தட்ட 0.524 m3 ஆகும்
0 comments:
Post a Comment